Introducción a las Matemáticas de las Leyes de Kepler

Este artículo, es en si mismo una ampliación del titulado “Las Leyes de Kepler”, y tiene por objeto, simplemente hacer una introducción a la formulación matemática de las Leyes de Kepler. Dada la simplicidad de las ecuaciones necesarias para la resolución de algunos problemas (no todos) o verificaciones de las Leyes de Kepler, es que hemos decidido redactarlo para aquellos viajeros curiosos que quieran ampliar sus conocimientos. Así que si te animás... ¡adelante!

Las Tres Leyes de Kepler

La Primera Ley de Kepler: Órbitas Elípticas

“Todos los planetas se desplazan alrededor del Sol describiendo órbitas elípticas, estando el Sol situado en uno de los focos.”

Fig. 1 – Primera Ley de Kepler - Créditos de la Imagen: Comunidad Simplemente El Universo

¿Qué es una elipse?

Repasemos el concepto matemático de elipse; la misma se define como el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.

PF + PF' = 2a

Fig. 2 – Elementos de la elipse - Créditos de la Imagen: Comunidad Simplemente El Universo

Una elipse esta conformada por las siguientes elementos, tal como podemos apreciar en la Fig. 2:

- Focos: Puntos F y F'
- Eje focal: Recta que pasa por los focos.
- Eje Secundario: Mediatriz del segmento FF'. (La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular a dicho segmento trazada por su punto medio.)
- Centro: Punto de intersección de los ejes.
- Radio vectores: Segmentos que van desde un punto de la elipse a los focos. Son dos FP y F'P.
- Distancia focal: Distancia entre los focos F y F'. Su longitud es 2c.
- Semidistancia focal: Segmento c.
- Vértices: Puntos de intersección de la elipse con los ejes: A, A', B y B'.
- Eje mayor: Segmento AA'. Su longitud es 2a.
- Semieje mayor: Segmento a.
- Eje menor: Segmento BB'. Su longitud es 2b.
- Semieje mayor: Segmento b.
- Ejes de simetría: Son las rectas que contienen al eje mayor o al eje menor.
- Centro de simetría: Centro de la elipse, punto de intersección de los ejes de simetría.

La excentricidad de una elipse es igual al cociente entre su semidistancia focal (c) y su semieje mayor (a):

Es un número que varia entre 0 (un círculo) y 1 (una recta). A mayor excentricidad, mayor distancia entre los focos.

Algunos cálculos excéntricos...

Si bien el cálculo de la excentricidad de la órbita de un planeta no es necesariamente una aplicación de la Primera Ley de Kepler, realizaremos a modo de ejemplo la determinación de la misma para un planeta del Sistema Solar, dado que fue Kepler mediante esta Ley quien por primera vez rompió con las esferas celeste y dio paso a las “imperfectas” elipses orbitales.

Cabe aclarar que debido a que, como puso en evidencia Sir Isaac Newton con su famosa Ley de la Gravitación Universal, todos los cuerpos se atraen unos a otros, la forma de las órbitas sufren pequeñas variaciones que nosotros ignoraremos suponiendo un Sistema Solar simplificado con el Sol y un solo planeta orbitándolo...

Para calcular la excentricidad de la Tierra por ejemplo, los datos que necesitaremos serán la semidistancia focal (c) y el semieje mayor (a) de su órbita.

Fig. 3 – Esquema órbita de la Tierra - Créditos de la Imagen: Comunidad Simplemente El Universo

Para calcular estos valores, lo primero que tenemos que conseguir son las distancias de la Tierra al Sol en su máximo acercamiento (perihelio) y la de su máximo alejamiento (afelio). No entraremos en detalle de como han logrado esto los astrónomos, dado no es este el propósito del presente artículo, sino que pasaremos directamente a proporcionar los datos:

Tierra
Perihelio: 147.090.000 kilómetros
Afelio: 152.110.000 kilómetros

Ahora si, como se puede apreciar en la figura 3, al afelio le restamos el perihelio, tendremos la distancia focal, y si a eso luego lo dividimos sobre dos habremos calculado la semidistancia focal (c).

(152.110.000 – 147.090.000) / 2 = 2.510.000 kilómetros

Semidistancia focal (c) = 2.510.000 kilómetros

Para obtener el semieje mayor, nuevamente apoyándonos en la figura 5, veremos que esta vez debemos sumar afelio más perihelio, y luego proceder nuevamente a su división sobre dos.

(152.110.000 + 147.090.000) / 2 = 149.600.000 kilómetros

Semieje mayor (a) = 149.600.000 kilómetros

El cociente c / a nos dará la excentricidad (e) de la órbita terrestre para estos valores:

2.510.000 / 149.600.000 = 0,016778

Excentricidad (e) = 0,016778

Nota: Los kilómetros de divisor y dividendo se simplifican.

Como podemos apreciar, este es un valor muy cercano a 0 lo que nos dice que la órbita terrestre alrededor del Sol es prácticamente un círculo.

Si recordamos, al inicio de esta sección definimos a la Primera Ley de Kepler de la siguiente manera: “Todos los planetas se desplazan alrededor del Sol describiendo órbitas elípticas, estando el Sol situado en uno de los focos.” Sin embargo esto no es completamente cierto... por un momento imaginemos la siguiente situación, piensen en un Sistema Solar donde se encuentren el Sol y una estrella de aproximadamente la misma masa que este ¿quien orbitaría a quien?, ¿cual de los dos estaría en el foco...?. En este caso deberíamos redefinir la Primera Ley de la siguiente forma para que fuera válida: “Todos los planetas se desplazan alrededor del Sol describiendo órbitas elípticas, estando el centro de gravedad del sistema Sol - planeta situado en uno de los focos.”

Cuando Kepler estudió los datos de la órbita de Marte, este efecto resultó ser tan pequeño que pasó inadvertido por él, sin embargo, la realidad es que las estrellas sufren también pequeños bamboleos – movimientos de peonza – debidos a la influencia de los planetas que la orbitan. De hecho, esta es una de las técnicas utilizadas para la detección indirecta de exoplanetas en otras estrellas...

Y sí, para aquellos viajeros más perspicaces he nombrado en la última definición de la Primera Ley de Kepler “... centro de gravedad ...” sin definir que es tal cosa, pero deberán esperar a un próximo artículo sobre la Ley de Gravedad Universal de Newton para que eso sea posible, por ahora deberán echar mano a su intuición...

Finalmente, los cuerpos del Sistema Solar pueden moverse también en otras secciones cónicas diferentes a una elipse: es decir en parábolas o hipérbolas, cuyas ecuaciones se asemejan a las de la elipse, pero que tienen una excentricidad (e) igual o mayor que 1. Estos cuerpos no están ligados al Sol y son libres de escapar de él, por ejemplo algunos cometas y sondas espaciales creadas por el hombre como las Voyager I y II.

La Segunda Ley de Kepler: Ley de las Áreas

“El radio vector que une el planeta y el Sol barre áreas iguales en tiempos iguales.”

Fig. 3 – Segunda Ley de Kepler - Créditos de la Imagen: Comunidad Simplemente El Universo

Calculando órbitas...

La Segunda Ley de Kepler es la base para el cálculo de órbitas planetarias, y exige por parte del viajero un esfuerzo extra para su comprensión matemática, aun por encima de las otras dos leyes... Intentaremos en este apartado hacer una introducción a la misma de la manera más sencilla e instructiva posible, desarrollando los cálculos requeridos en un ejemplo.

La Ley de la Áreas se ve plasmada matemáticamente en la llamada Ecuación de Kepler:

M = E – e sin(E)

Donde M es la anomalía media, e es la excentricidad de la elipse y E es la anomalía excéntrica.

Si bien ya tenemos conocimiento del concepto de excentricidad (e) del apartado anterior, deberemos desarrollar los conceptos de anomalía media (M) y anomalía excéntrica antes de poder proseguir.

La anomalía media (M) es el ángulo que forma con el eje de la elipse un planeta ficticio que gira con movimiento uniforme sobre una circunferencia cuyo diámetro coincide con el eje principal de la elipse, llamada circunferencia principal. Es decir, si superpusieramos a la elipse real una circunferencia del mismo diámetro que el eje principal o eje mayor, un planeta (ficticio) la recorrería siempre a la misma velocidad, ya que cumpliría de esta forma con “áreas iguales en tiempos iguales”. El ángulo que conformaría el planeta respecto al perihelio de la elipse luego de un tiempo determinado es el que se denomina anomalía media (M).

Si t₀ es el instante inicial o “cero” del planeta al pasar por el perihelio, la anomalía media en un instante t está dada por:

M = n (t - t₀)

Donde n es el movimiento medio.

Ahora solo nos resta definir movimiento medio para poder hacer nuestros primeros cálculos.

El movimiento medio (n) es el ángulo girado en la unidad de tiempo, suponiendo un movimiento uniforme n = 2 Π / T en radianes/día o n = 360º/T en grados/día si el periodo orbital (T) está expresado en días.

¡Manos a la obra!. La pregunta a resolver será, ¿en que lugar del espacio se encontrará el planeta Marte trascurridos 80 días (terrestres) de su paso por el perihelio?.

Comencemos calculando la anomalía media (M). Efectuaremos los mismos cálculos en radianes y grados sexagesimales.

Marte
Período orbital sideral (T) = 686,971 días terrestres

En radianes:

n = 2 Π radianes / T

n = 6,283185 radianes / 686,971 días

n = 0,009146 radianes / día

En grados sexagesimales:

n = 360º / T

n = 360º / 686,971 días

n = 0,524040º / día

Calculado el movimiento medio procedemos a hacer lo mismo con la anomalía media.

En radianes:

M = n (t – t₀)

M = 0,009146 radianes / día (80 días – 0 días)

M = 0,731697 radianes

En grados sexagesimales:

M = n (t – t₀)

M = 0,524040º/días (80 días – 0 días)

M = 41,9232º

Pasemos ahora a definir el concepto de anomalía excéntrica. La anomalía excéntrica (E) es el ángulo medido desde el centro de la elipse, que forma la proyección del planeta sobre la circunferencia principal, y el eje de la elipse. Esta es la incógnita en la Ecuación de Kepler, el valor que tenemos que averiguar para luego, mediante una serie de relaciones, podamos realizar los cálculos requeridos para determinar la órbita del planeta. Sin embargo, su resolución no es simple, de hecho existen varios posibles métodos para ella. Nosotros nos abocaremos al denominado Método de las aproximaciones sucesivas, o Método iterativo, por resultar el más sencillo.

En primer instancia hemos de elegir un margen de aproximación que consideremos apropiado, por ejemplo 0,000001, lo que significa que dejaremos de repetir el cálculo cuando la diferencia entre el resultado anterior y el último sea menor que 0,000001. Claro está, que si lo deseamos podemos elegir cualquier otro valor.

La ecuación que utilizaremos será la siguiente:

E = M + e sin(E)

El resultado obtenido, volveremos a calcularlo tantas veces como sea necesario hasta que la diferencia entre los dos últimos resultados sea menor que 0,000001. Esto puede parecer un poco confuso, pero de seguro con la realización de los cálculos a continuación será comprensible la explicación...

Para comenzar, consideraremos a la anomalía media (M) igual a la anomalía excéntrica (E), ya que es necesario tener un número desde donde partir...

Calculemos la excentricidad de la órbita (e) de Marte, como aprendimos en el apartado anterior.

Marte
Perihelio: 206.669.000 kilómetros o 1,381497 UA
Afelio: 249.209.300 kilómetros o 1,665861 UA

(249.209.300 – 206.669.000) / 2 = 21.270.150 kilómetros

Semidistancia focal (c) = 21.270.150 kilómetros

(249.209.300 + 206.669.000) / 2 = 227.939.150 kilómetros

Semieje mayor (a) = 227.939.150 kilómetros

21.270.150 / 227.939.150 = 0,093315

Excentricidad (e) = 0,093315

Ahora que contamos con los datos necesarios procedamos...

Marte (80 días después del paso por el perihelio)
Período orbital sideral (T) = 686,971 días terrestres
Anomalía media (M) = 0,731697 radianes o 41,9232º
Anomalía Excéntrica (E) = ? radianes o ?º
Excentricidad de la órbita (e) = 0,093315

E = M + e sin(E)

Iteración 0
E₀ = M
E₀ = 0,731697 radianes

Iteración 1
E₁ = M + e sin(E₀)
E₁ = 0,731697 radianes + 0,093315 x sin(0,731697 radianes)
E₁ = 0,794044 radianes
[E₀ – E₁] = [0,731697 radianes - 0,794044 radianes]
[E₀ – E₁] = 0,062347 radianes
Como es mayor que 0,000001 es necesaria una nueva iteración.

Iteración 2
E₂ = M + e sin(E₁)
E₂ = 0,731697 radianes + 0,093315 x sin(0,794044 radianes)
E₂ = 0,798249 radianes
[E₁ – E₂] = [0,794044 radianes - 0,798249 radianes]
[E₁ – E₂] = 0,004205 radianes
Como es mayor que 0,000001 es necesaria una nueva iteración.

Iteración 3
E₃ = M + e sin(E₂)
E₃ = 0,731697 radianes + 0,093315 x sin(0,798249 radianes)
E₃ = 0,798523 radianes
[E₂ – E₃] = [0,798249 radianes - 0,798523 radianes]
[E₂ – E₃] = 0,000274 radianes
Como es mayor que 0,000001 es necesaria una nueva iteración. Sin embargo, ya estamos mucho más cerca de resultado esperado.

Iteración 4
E₄ = M + e sin(E₃)
E₄ = 0,731697 radianes + 0,093315 x sin(0,798523 radianes)
E₄ = 0,798541 radianes
[E₃ – E₄] = [ 0,798523 radianes - 0,798541 radianes]
[E₃ – E₄] = 0,000018 radianes
Como es mayor que 0,000001 es necesaria una nueva iteración.

Iteración 5
E₅ = M + e sin(E₄)
E₅ = 0,731697 radianes + 0,093315 x sin(0,798541 radianes)
E₅ = 0,798542 radianes
[E₄4 – E₅] = [0,798541 radianes - 0,798542 radianes]
[E₄4 – E₅] = 0,000001 radianes

Hemos logrado la aproximación deseada y ya no es necesario más iteraciones. En órbitas con una excentricidad mayor es necesario realizar más cantidad de iteraciones para lograr despejar E con la misma aproximación.

Si deseamos pasar la anomalía excéntrica (E) a grados sexagesimales realizamos la siguiente conversión:

0,798542 radianes x 180/Π = 45,753095º

Marte (80 días después del paso por el perihelio)
Período orbital sideral (T) = 686,971 días terrestres
Anomalía media (M) = 0,731697 radianes o 41,9232º
Anomalía Excéntrica (E) = 0,798542 radianes o 45,753095º
Excentricidad de la órbita (e) = 0,093315

Ahora que sabemos el valor de la anomalía excéntrica (E) ¿que podemos calcular con ella?. Hay varias relaciones interesantes que podemos resolver con estos datos. Por ejemplo, si deseamos saber el angulo que forma el planeta respecto al foco (F) de la elipse donde se encuentra el Sol, debemos proceder a calcular la anomalía verdadera (V).

La anomalía verdadera (V) es el ángulo que forma el planeta medido desde el foco F (Sol) de la órbita elíptica respecto al perihelio del planeta, en sentido contrario a las agujas del reloj (sentido directo).

Marte (80 días después del paso por el perihelio)
Anomalía Excéntrica (E) = 0,798542 radianes o 45,753095º
Anomalía Verdadera (V) = ? radianes o ?º
Excentricidad de la órbita (e) = 0,093315

En radianes:

En grados sexagesimales:

0,867765 radianes x 180/Π = 49,719289º

Marte (80 días después del paso por el perihelio)
Anomalía Excéntrica (E) = 0,798542 radianes o 45,753095º
Anomalía Verdadera (V) = 0,867765 radianes o 49,719289º
Excentricidad de la órbita (e) = 0,093315

Esto significa que el ángulo recorrido por el planeta Marte desde el perihelio luego de pasar por este, en sentido directo, tras orbitar 80 días es de 0,867765 radianes o 49,719289º.

Con los datos que hemos conseguido podemos además calcular las posiciones (x, y) de Marte respecto al Sol.

Si deseamos calcularlos en función de la anomalía excéntrica (E)...

Donde a, recordemos es el semieje mayor de la órbita elíptica de Marte.

Procedamos...

Esta es la coordenada x en un sistema de ejes cartesianos espaciales con intersección (x, y) en el Sol, con el eje x en la misma recta perihelio – afelio (recta del eje mayor).

Pasemos a la coordenada y...

Esta es la coordenada y en un sistema de ejes cartesianos espaciales con intersección (x, y) en el Sol, con el eje y perpendicular a la misma recta perihelio – afelio (recta del eje mayor).

Para saber el radio vector (r), es decir la distancia de Marte al Sol en ese momento, utilizamos simplemente el Teorema de Pitágoras:

Si me han seguido hasta aquí, hemos logrado determinar la respuesta a la pregunta inicial ¿en que lugar del espacio se encontrará el planeta Marte trascurridos 80 días (terrestres) de su paso por el perihelio?.

Marte (80 días después del paso por el perihelio)
Anomalía Verdadera (V) = 0,867765 radianes o 49,719289º
x = 137.774.723 kilómetros 0,920967 UA
y = 162.569.458 kilómetros 1,086710 UA
Radio vector (r) = 213.097.872 kilómetros 1,424471 UA

Estos valores también pueden averiguarse mediante otras relaciones...

Las posiciones (x, y) en función a la anomalía verdadera (V)

x = r cos(V)

y = r sin(V)

El valor del radio vector (r) en función de la anomalía excéntrica (E)

r = a x (1 – e cos(E))

El valor del radio vector (r) en función de la anomalía verdadera (V)

Como habrán podido apreciar los viajeros, el cálculo de una sola posición de un planeta en el espacio, aun simplificando al máximo el mismo, requiere una gran cantidad de operaciones matemáticas. Si pensamos que en la época de Kepler aun no existían las computadoras, y ni siquiera las calculadoras, esta era una tarea tediosa, lenta y engorrosa que no estaba exenta de errores involuntarios, por lo que que debía revisarse una y otra vez... ¡Que tiempos aquellos! cuando sobre los oculares de los grandes telescopios se arrimaba un ojo curioso y los cálculos se realizaban a pulso sobre el papel... Hoy, las computadoras pueden resolver con gran precisión este y otros problemas muchos más complejos que a un matemático o astrónomo, aun con el auxilio de una calculadora científica, podrían llevarle toda una vida. Sin embargo, no olvidemos que detrás del software de astronomía se encuentra oculta la firma de aquellos hombres: programadores, matemáticos, físicos o astrónomos que trabajaron en su realización...

Finalmente, y como una curiosidad, el problema de ¿en que lugar del espacio se encontrará el planeta Marte trascurridos 80 días (terrestres) de su paso por el perihelio? coincide con el que podemos encontrar en la Ecuación de Kepler de la Wikipedia. Esto no es una casualidad, ni tampoco una transcripción textual del problema, sino que teniendo en cuenta que allí podemos encontrar los resultados pero sin un detalle de las operaciones matemáticas realizadas para la obtención de los mismos, algo lógico teniendo en cuenta que es una Enciclopedia y que a nosotros nos ha llevado un buen espacio desarrollarlas, pensé que sería adecuado que este apartado del artículo sirviera como una ampliación a esa obra de consulta tan apreciada y utilizada. Podemos ver pequeñas discrepancias en los resultados de ambos textos, fruto de los valores utilizados para los cálculos y la cantidad de decimales tenidos en cuenta en los mismos.

La Tercera Ley de Kepler: Ley Armónica

“El cuadrado del período orbital sideral del planeta es proporcional al cubo de su distancia media al Sol.”

donde T² es el período orbital sideral al cuadrado y A³ es la distancia media al Sol al cubo.

No hay dos sin tres...

Mediante esta Ley, Kepler dio a sus contemporáneos una herramienta con la que calcular la duración del período orbital sideral de un planeta (año sideral) o su distancia media al Sol mediante una ecuación matemática.

Primero comprobemos la veracidad de la Tercera Ley de Kepler y luego pasemos a un ejemplo práctico... Como ya alegamos anteriormente, en este apartado proporcionaremos directamente los datos necesarios sin detenernos a explicar como los astrónomos han hechos uso de su ingenio y de sus enormes telescopios para dar con ellos.

Como vimos al inicio, la Tercera Ley de Kepler nos dice “El cuadrado del período orbital sideral del planeta es proporcional al cubo de su distancia media al Sol.”

donde T² es el período orbital sideral al cuadrado y A³ es la distancia media al Sol al cubo.

Así que si realizamos este cálculo para – por ejemplo – dos o más planetas del Sistema Solar, K debe ser (aproximadamente) el mismo valor...

Tierra
Período orbital sideral = 365,2564 días terrestres = 1 año sideral terrestre
Distancia media al Sol = 149.597.870 kilómetros = 1 unidad astronómica (UA)

(1)² / (1)³ = 1

K = 1

Haciendo uso de años terrestres y unidades astronómicas.

Marte
Período orbital sideral = 686,971 días terrestres = 1,880 años siderales terrestres
Distancia media al Sol = 227.939.150 kilómetros = 1,524 unidades astronómicas (UA)

(1,880)² / (1,524)³ = 0,9985

K = 0,9985 = aprox. 1

Haciendo uso de años terrestres y unidades astronómicas.

Hemos comprobado que si usamos las mismas unidades, el valor de K se mantiene constante, aceptando pequeñas variaciones debidas a errores propios de medición.

Pasemos entonces a realizar un cálculo que nos permita saber, por ejemplo, a que distancia media del Sol se encuentra Júpiter, si sabemos su período orbital sideral.

Para ello usaremos los datos de la Tierra:

Tierra
Período orbital sideral = 365,2564 días terrestres = 1 año sideral terrestre
Distancia media al Sol = 149.597.870 kilómetros = 1 unidad astronómica (UA)

y los de

Júpiter
Período orbital sideral = 4.332,866 días terrestres = 11,8625 años siderales terrestres
Distancia media al Sol = ? kilómetros = ? unidades astronómicas (UA)

Usando

Siendo _a Júpiter y _b la Tierra despejamos

Resolvamos haciendo uso de años terrestres y unidades astronómicas

Así los datos de Júpiter resultantes son...

Júpiter
Período orbital sideral = 4.332,866 días terrestres = 11,8625 años siderales terrestres
Distancia media al Sol = 778.103.400 kilómetros = 5,2013 unidades astronómicas (UA)

Valores muy cercanos a los medidos y aceptados actualmente.

Podemos decir que la Tercera Ley de Kepler es una poderosa herramienta matemática de sencillo uso...

Conclusión

Para cerrar este artículo, me gustaría exponer al viajero que se ha embarcado en la resolución de estos cálculos, que los mismos son solo una aproximación a la realidad, pero que aun así para la época de Kepler resultaron realmente revolucionarios. Piensen que de no tener nada, se pasó a contar con una herramienta matemática que funcionaba y ponía orden a las reglas que regían los movimientos de los planetas.

Debido a que las leyes de Kepler no tienen en cuenta la atracción gravitatoria del resto de los cuerpos del Sistema Solar, además del Sol, sino que habría que esperar a Sir Isaac Newton para ello, las predicciones que aportan sufren de pequeñas falencias que implican la necesidad de correcciones. Si estas no son realizadas, se acumulan y al lapso de un cierto periodo de tiempo el sistema se ve perceptiblemente trastocado respecto a la realidad.

Silvio Oreste Topa
para Simplemente... El Universo